Метод дихотомії

Метод дихотомії

Дихотомія в перекладі з грецької мови означає "послідовне ділення надвоє" або "роздвоєність". Дихотомічний поділ досить успішно використовується в математиці та логіці для класифікації елементів, а в філософії та лінгвістиці - для утворення підрозділів одного терміну, що взаємовиключають один одного.


Метод дихотомії необхідно відрізняти від звичайного поділу. Наприклад, слово "" людина "" може бути поділене на поняття "" чоловіки "" і "" жінки "", а може ділитися на "" чоловіки "" і "" не чоловіки "". Так от, у першому випадку два поняття не суперечать один одному, тому тут дихотомія відсутня. У другому випадку "" чоловік "" і "не чоловік" "- два визначення, що суперечать один одному і не перетинаються, а це і є визначенням дихотомії.


Метод дихотомії привабливий свій простотою, оскільки тут завжди присутні тільки два класи, які вичерпуються об 'ємом ділимого поняття. Іншими словами, в дихотомічному поділі завжди присутня співмірність. Наступною основною властивістю є виключення один одного членами поділу у зв 'язку з тим, що кожна подільна безліч може потрапити тільки в один із класів "b" "або" "не b" ", а поділ здійснюється тільки за однією підставою, пов' язаною з наявністю або відсутністю певної ознаки.

При всіх своїх достоїнствах метод дихотомії має і недолік, що полягає в невизначеності тієї його частини, яка має частинку "" не "". Наприклад, якщо всіх вчених розділити на математиків і не математиків, то щодо другої групи присутня певна неясність. Крім цього нестачі, існує ще один, що полягає в скрутному встановленні поняття, що суперечить першому значенню, за ступенем видалення від першої пари.

Як вже зазначалося вище, дихотомія часто використовується як допоміжний прийом при класифікації будь-яких понять. Метод діхотомії активно використовується при знаходженні значень функцій, що визначаються за певним критерієм (наприклад, порівняння на максимум або мінімум).

Досить часто використовується неусвідомлено метод дихотомії, алгоритм якого може бути описаний буквально покроково. Наприклад, у грі "Вгадай число" один з гравців загадує число в діапазоні від 1 до 100, а інший робить спроби його відгадати на основі підказок "" менше "" або "" більше "" першого. Якщо розмірковувати логічно, в якості першого числа завжди називається 50, а в разі загаданого меншого - 25, більшого - 75. Тому на кожному етапі невизначеність загаданого числа зменшується вдвічі, і навіть невезуча людина відгадає це невідоме приблизно за 7 спроб.

При використанні методу дихотомії у вирішенні різних рівнянь знаходження правильного рішення можливе лише тоді, коли достовірно відомо знаходження єдиного кореня на заданому інтервалі. Це зовсім не означає, що застосування даного методу можливе для знаходження коренів тільки лінійних рівнянь. При вирішенні рівнянь більш високого порядку з використанням методу половинного поділу потрібно в першу чергу розділити коріння за відрізками. При цьому процес їх відокремлення здійснюється за допомогою знаходження першої та другої похідних від функції та прирівнювання отриманих рівнянь до нуля (f '(x) = 0, f "(x) = 0). Наступним етапом є визначення значень f (x) в граничних і критичних точках. Результатом всіх проведених розрахунків є інтервал |a,b|, на якому у значення функції змінюється знак і де f (a) * f (b) < 0.

При розгляді графічного методу вирішення рівняння з використанням дихотомії алгоритм рішення досить простий. Наприклад, існує відрізок |a,b|, в межах якого знаходиться один корінь х.


Першим етапом є обчислення середнього алгебраїчного x = (a + b )/2. далі розраховується значення функції в даній точці. Якщо f (x) < 0, то [a, x], інакше - [x, b]. Таким чином, здійснюється звуження інтервалу, в результаті якого формується певна послідовність х. Розрахунок припиняється при досягненні різності b-a меншої похибки.