Десяткова система обчислення: підстава, приклади та переведення до інших систем обчислення

Десяткова система обчислення: підстава, приклади та переведення до інших систем обчислення

З того моменту, як людина вперше усвідомила себе автономним об 'єктом у світі, озирнувся навколо, перервавши замкнене коло бездумного виживання, він почав вивчати. Дивився, порівнював, вважав, робив висновки. Саме на цих, здавалося б, елементарних діях, які зараз під силу і дитині, почали ґрунтуватися сучасні науки.

З чим працювати будемо?

Для початку необхідно визначитися з тим, що взагалі являє собою система обчислення. Це умовний принцип запису чисел, їх наочне уявлення, яке спрощує процес пізнання. Самі по собі числа не існують (хай пробачить нас Піфагор, який вважав число основою світобудови). Це просто абстрактний об 'єкт, що має фізичне обґрунтування лише при обчисленнях, своєрідне мірило. Цифри - об 'єкти, з яких число складається.


Початок

Перший усвідомлений рахунок мав найпримітивніший характер. Тепер його прийнято називати непозиційною системою обчислення. На практиці вона являє собою число, в яких позиція складових його елементів неважлива. Взяти, наприклад, звичайні чорточки, кожна з яких відповідає певному об 'єкту: три людини еквівалентні |||. Як не крути, три черточки - це все ті ж три чорточки. Якщо брати більш близькі приклади, то стародавні новгородці користувалися за рахунку слов 'янським алфавітом. При необхідності виділення саме числа над буквою просто проставляли знак ауд. Також буквена система обчислення була в пошані у стародавніх римлян, де числа - це знову ж літери, але належать вже латинському алфавіту.

В силу відокремленості стародавніх держав, кожна з них розвивала науку самостійно, хто у що горазд.

Примітний той факт, що альтернативна десяткова система обчислення була виведена ще єгиптянами. Однак "" родичкою "" звичного нам поняття вважати її не можна, оскільки принцип рахунку відрізнявся: жителі Єгипту використовували число десять як основу, оперуючи ступенями.

З розвитком і ускладненням процесу пізнання світу з 'явилася потреба виділення розрядів. Уявімо, що потрібно якось зафіксувати чисельність армії держави, яка вимірюється тисячами (в кращому випадку). Що ж тепер, нескінченно виписувати палички? Через це шумерські вчені тих років виділили систему обчислення, в якій місце розташування символу було обумовлено його розрядом. Знову ж таки, приклад: числа 789 і 987 мають один і той же "" склад "", але, в силу зміни розташування цифр, друге істотно більше.

Що це таке - десяткова система обчислення? Обґрунтування

Звичайно, позиційність і закономірність були не єдиними для всіх методів підрахунку. Наприклад, у Вавилоні базою виступало число 60, у Греції - алфавітна система (число складали букви). Примітно, що метод підрахунку жителів Вавилона живий і донині - він знайшов своє місце в астрономії.

Однак прижилася і поширилася та, у якої основа системи обчислення - десятка, оскільки простежується відверта паралель з пальцями людських рук. Посудіть самі - по черзі згинаючи пальці, можна дорахуватися мало не до нескінченної безлічі.


Початок цій системі було покладено в Індії, причому вона з 'явилася відразу на базі "10". Формування назв чисел було двояким - наприклад, 18 можна було прописати словом і як "вісімнадцять", і як "без двох двадцять". Також саме індійські вчені вивели таке поняття, як "нуль", офіційно його поява зафіксована в IX столітті. Саме цей крок став основоположним у формуванні класичних позиційних систем обчислення, тому що нуль, незважаючи на те, що символізує порожнечу, ніщо, здатний підтримати розрядність числа, щоб воно не втратило свій сенс. Наприклад: 100000 і 1. Перше число включає 6 цифр, перша з яких - одиниця, а п 'ять останніх позначають порожнечу, відсутність, а друге число - просто одиниця. За логікою, вони повинні бути рівні, але на практиці це далеко не так. Нулі в 100000 позначають присутність тих розрядів, яких у другому числі немає. Ось вам і "ніщо".

Сучасність

Десяткова система обчислення складається з цифр від нуля до дев 'яти. Числа, складені в її рамках, будуються за наступним принципом:

крайня справа цифра позначає одиниці, змістіться на один крок вліво - отримаєте десятки, ще крок вліво - сотні і так далі. Складно? Нічого подібного! Насправді, десяткова система приклади може надати досить наочні, взяти хоча б число 666. Складається з трьох цифр 6, кожна з яких позначає свій розряд. Причому ця форма запису є згорнутою. Якщо ви хочете підкреслити, про яке саме число йдеться, то його можна розгорнути, надавши письмову форму тому, що "проговорює" ваш внутрішній голос кожен раз, коли ви бачите число - "шістсот шістдесят шість". Саме написання включає в себе все ті ж одиниці, десятки і сотні, тобто кожна цифра позиції множиться на певний ступінь числа 10. Розгорнута форма - це такий вираз:

66610 = 6х102 + 6*101 + 6*100 = 600 + 60 + 6.

Актуальні альтернативи

Другою за популярністю після десяткової системи обчислення є досить молодий різновид - двійковий (бінарний). З 'явилася вона завдяки всюдисущому Лейбніцу, який вважав, що в особливо складних випадках у дослідженні теорії чисел бінарність буде зручнішою, ніж десятизначність. Своє повсюдне поширення вона отримала з розвитком цифрових технологій, оскільки має в підставі число 2, і елементи в ній складаються з цифр 1 і 2.

Кодування інформації відбувається в цій системі, оскільки 1 - наявність сигналу, 0 - його відсутність. На підставі цього принципу можна показати кілька наочних прикладів, що демонструють переведення в десяткову систему обчислення.

Протягом часу процеси, пов 'язані з програмуванням, ускладнювалися, тому ввели способи запису чисел, у яких в підставі лежать 8 і 16. Чому саме вони? По-перше, кількість знаків більша, а значить, саме число буде коротше, по-друге - в їх основі лежить ступінь двійки. Вісімкова система складається з цифр 0-7, а шістнадцяткова - з тих же цифр, що і десяткова, плюс букви від A до F.


Принципи та методи перекладу числа

Перевести в десяткову систему обчислення просто, досить дотримуватися такого принципу: вихідне число записується як багаточлен, який складається з сум творів кожного числа на основу "" 2 "", зведену у відповідну розрядності ступінь.

Основна формула для обчислення:

x2 = yk2k-1 + yk-12k-2 + yk-22k-3 + ...+ y221 + y120.

Приклади перекладу

Для закріплення розглянемо кілька виразів:

1011112 = (1x25) + (0x24) + (1x23) + (1x22) + (1x21) + (1x20) = 32 + 8 + 4 + 2 + 1 = 4710.


Ускладнимо завдання, бо система включає в себе переклад і дробових чисел, для цього розглянемо окремо цілу і окремо дробову частину - 111110,112. Отже:

111110,112 = (1x25) + (1x24) + (1x23) + (1x22) + (1x21) + (0x20) = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 = 6210;

112 = 2-1x1 + 2-2x1 = 1/2 + 1/4 = 0,7510.

У підсумку отримуємо, що 111110,112 = 62,7510.

Вивід

Незважаючи на всю "давнину", десяткова система обчислення, приклади якої ми розглянули вище, все ще "на коні", і списувати її з рахунків не варто. Саме вона стає математичною основою в школі, на її прикладі пізнаються закони математичної логіки, виводиться вміння будувати вивірені взаємозв 'язки. Та що вже там - практично весь світ користується саме цією системою, не бентежачись її неактуальністю. Причина для цього одна: вона зручна. В принципі, вивести основу рахунку можна будь-яку, нею при необхідності стане навіть яблуко, але навіщо ускладнювати? Ідеально вивірену кількість цифр при необхідності і по пальцях перерахувати можна.